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Regards sur une figure comme assemblage de points, de lignes (droites et circulaires), de surfaces.

Les deux premiers sont utopiques car les points et les lignes, n'ayant pas d'épaisseur, ne se voient pas.

Admettons qu'il soit possible de voir des représentations des figures. Pour les élèves, ces représentations ont une histoire:

Au cycle 1:

Les solides ont une surface, les surfaces ont des contours.

Les contours sont des lignes, il y a les contours assemblage de bords droits.

Les surfaces qui n'ont que des bords droits ont des coins.

 

Au cycle 2:

Les coins de surface sont des points. Les contours sont des lignes. Certaines lignes sont dites ouvertes, d'autres fermées, les lignes fermées correspondent aux contours, les lignes ouvertes ont deux interprétations un morceau de contour d'une surface déchirée ou la trace d'un mobile se déplaçant (un dessin, une écriture).

Les bords droits de surface sont des côtés, des segments. On apprend à segmenter un contour.

Un segment a deux extrémités qui sont des points.

 

Au cycle 3:

Un coin de surface à bords rectilignes, comme partie de la surface, est un angle.

Un segment a un support, ce support est une droite. Quand deux segments se coupent, on a plusieurs segments et donc l'intersection de deux segments est un point.

 

Au primaire le point n'est pas une notion première et les points sont toujours attachés à un autre objet géométrique.

Au collège, on tendra à dire que les points existent et sont premiers. Les autres objets sont des ensembles de points.

Une caricature de l'enseignement de la géométrie:

Au primaire:  solide - surface - ligne - point.

Au collège, l'ordre est inverse: point - ligne - surface - solide.

 

Un enseignant de collège se doit d'assurer la transition avec le primaire, pour arriver à:

Un segment est un ensemble de points, et comme le plan est rempli de points, quand on a deux points, il en existe d'autres alignés avec ces deux là. Un segment est constitué de tous les points alignés avec les deux points, et situés entre eux. D'autres conceptions du segment sont données, mais toujours à partir des points.

Une droite peut être définie à partir de deux points et un cercle à partir d'un point (qui ne fait pas partie du cercle) et d'une longueur.

Au collège, une ligne courbe non circulaire n'étant pas définie facilement à partir des points, n'a pas  d'existence mathématique. Mais certaines lignes courbes pourraient être définies,  mais ce n'est pas l'usage, les ellipses peuvent être définies à partir de deux points et d'une longueur...

Des lignes courbes peuvent apparaitre comme graphe de fonctions, toujours des ensembles de points, mais rarement au collège et si oui c'est avec des calculettes.

 

Pour faciliter cette transition, un enseignant de sixième aura intérêt à tenir compte des connaissances des élèves du primaire sur le point, le segment ou la droite.

Un point comme extrémité d'un segment ou comme sommet d'une surface.

Un segment comme côté d'une surface

Une droite comme prolongement du côté d'une surface.

Il s'agit là d'une démarche libératrice pour la résolution de problèmes géométriques. 

Exemples :

Problème du tracé d'une parallèle à une droite donnée passant par un point.

Nous oublions ces trois objets (deux droites 1D et un point 0D)  pour les intégrer dans une surface 2D comme un rectangle, un losange ou un parallélogramme. La vision surface d'une figure généralement aide à faire jaillir une procédure.Il ne reste plus qu'à comparer les procédures

Problème du tracé d'une bissectrice d'un angle donné par deux droites sécantes.

Nous oublions ces deux objets (deux droites 1D)   pour les intégrer dans une surface 2D comme un triangle quelconque, un triangle isocèle, un losange ou ... La vision surface d'une figure généralement aide à faire jaillir une procédure.Il ne reste plus qu'à comparer les procédures

Problème du tracé d'une perpendiculaire à une droite donnée passant par un point.

Nous oublions ces trois objets (deux droites 1D et un point 0D)  pour les intégrer dans une surface 2D comme un triangle rectangle, un rectangle, un losange ou ... La vision surface d'une figure généralement aide à faire jaillir une procédure. Il ne reste plus qu'à comparer les procédures

  

 

 

voir aussi l'article sur les représentations de la figure "droite-point"