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Qu'est ce qui caractérise certaines figures et en quoi sont-elles singulières?

La réponse à cette question dépend des actions que l'on fait avec elles. (Superposition, assemblage, décomposition, mais aussi restauration, reproduction, construction)

Considérons la notion de figure réduite à la relation entre une forme et son contour, nous pouvons envisager les procédures suivantes et donc distinguer ou non les figures nommées dans les Instructions Officielles.

Superposition:

Procédure A: Au cycle 1, les formes (que l'on ne peut pas retourner, puzzle par encastrement avec des formes munies d'une petite  "poignée") peuvent être distinguées par le nombre de possibilités de revenir dans leur contour.

    • 1 fois pour le triangle quelconque, le triangle isocèle, le triangle rectangle,
    • 2 fois pour le rectangle, le losange, le parallélogramme.
    • 3 fois pour le triangle équilatéral
    • 4 fois pour le carré
    • beaucoup de fois pour le rond.

 

Procédure B: Au cycle 1, les formes ( que l'on peut retourner, "boîte à formes") peuvent être distinguées par le nombre de possibilités de revenir dans leur contour.

    • 1 fois pour le triangle quelconque, le triangle rectangle (non isocèle)
    • 2 fois pour le triangle isocèle, le parallélogramme
    • 4 fois pour le rectangle, le losange
    • 6 fois pour le triangle équilatéral
    • 8 fois pour le carré
    • beaucoup de fois pour le rond.

Assemblage:

Procédure C: Pavage du plan.

    • Un rectangle ou un triangle isocèle est la somme de deux mêmes triangles rectangles.
    • Un losange est la somme de deux mêmes triangles isocèles.
    • Un parallélogramme, un cerf-volant est la somme de deux mêmes triangles quelconques.
    • Un carré est la somme de deux mêmes triangles rectangles isocèles.

Décomposition:

Procédure D: Décomposition d'une forme en triangles, avec le minimum de triangles:

    • Un rectangle est formé de deux triangles rectangles.
    • Un losange est formé de deux triangles isocèles.
    • Un parallélogramme est formé de deux triangles quelconques.
    • Un carré est formé de deux triangles rectangles isocèles...

Procédure E: Décomposition d'une forme en triangles rectangles, avec le minimum de triangles et le minimum de types (formes).

    • En deux triangles rectangles de même type: un carré, un rectangle, ..
    • En deux triangles rectangles de type différents: un triangle.
    • En quatre triangles rectangles de même type: un losange
    • En quatre triangles rectangles de 2 types: un parallélogramme...

 

C'est par une combinaison de procédures que l'on construit les notions usuelles et que l'on fait évoluer celles-ci.

Avec la procédure A, on distingue le carré, le triangle équilatéral et le rond.

Avec la procédure B, on distingue le carré, le triangle équilatéral, le rond mais aussi le triangle isocèle et toute figure symétrique.

La procédure E permet de distinguer le rectangle du losange...