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 Les activités de restauration au Cycle 3 avec l'introduction de l'équerre et du compas, devraient amener les élèves à être capables de regarder  mathématiquement les figures, en utilisant en particulier le jeu sur les coûts d'utilisation des instruments.

 

Texte de rappel:

La construction de figures à l’aide des instruments conventionnels comme la règle (graduée), l’équerre et le compas reste une référence culturelle prégnante pour l’apprentissage de la géométrie. Et en l’associant au «vocabulaire» qui désigne les figures classiques ainsi que les relations entre les droites ou les segments tracés pour les construire, on pense généralement que les élèves vont découvrir et s’approprier les notions géométriques de base. Mais comme la plupart des enseignants ne cessent d’en faire l’expérience, les choses ne se passent pas aussi simplement.

L’apprentissage technique de l'utilisation des instruments conventionnels ne permet ni d’apprendre à voir les figures géométriques classiques ni d’analyser les propriétés géométriques de figures. Il ne permet pas de faire le saut de la manière naturelle de voir les figures, qui reconnaît les formes comme des contours de surface et qui les analyse comme des assemblages de formes, à la manière mathématique de regarder, qui se focalise sur les réseaux de droites et de points sous-jacents et qui les analyse comme des relations entre ces lignes et ces points. L’utilisation des instruments conventionnels ne peut être introduite qu’après avoir aidé les élèves (ou au moins en même temps qu'on les aide) à prendre conscience du saut à faire. Quelles activités peuvent favoriser ce retournement de la manière de voir, sans lequel les notions géométriques restent un vocabulaire mort et les « savoirs » fragmentaires acquis, des savoirs que l’on sera incapable d’utiliser en dehors de ce qui aura été le contexte particulier de leur apprentissage ?

 

Ces huit supports sont repris ci-dessous, en file, pour faciliter leur visibilité. 

  
  • Cliquez sur le bouton entouré d'un carré bleu pour dérouler l'animation ci-dessus.
  • Pour imprimer une de ces pages, placez votre souris sur l'une d'elles et cliquez sur le bouton droit de la souris vous accédez alors à un menu qui permet d'imprimer uniquement l'image choisie. La configuration de votre imprimante en mode paysage peut être faite à l'aide du bouton: "préférences".
  • Le support élève sera à faire découper selon le trait pointillé rouge, on garde solidaire les deux figures bleues, puis on fait découper une règle orange non graduée et un gabarit violet incomplet de la figure bleue complète.
  • L'élève aura à restaurer la figure bleue incomplète.

 

Le choix des variables choisies par l'enseignant au Cycle 3, en particulier l'introduction de l'équerre et du compas, le choix des coûts des instruments, fait évoluer les activités de restauration vers des activités de reproduction.

Au Cycle 3, les activités de reproduction et de construction de figures prennent progressivement le pas sur les activités de restauration car les instruments de tracé conventionnels (la règle, l’équerre et le compas) deviennent les seuls instruments de tracé reconnus par l'institution. 

 

Voici, à titre d’exemples, deux procédures à la fin du Cycle 3 pour restaurer la figure bleue incomplète.   

 

1-    En supposant qu'un travail de triangulation ait été réalisé, la difficulté réside dans la construction d'un triangle connaissant les trois côtés.

Ici le triangle à contruire est réalisé car le triangle est décomposable en deux traingles rectangles mais il est possible de s'y prendre autrement sans se servir de l'équerre.

Attention donc à bien choisir le barême des coûts sur les instruments.

 

 

2- En supposant qu'un travail de triangulation ait été réalisé, la difficulté réside dans la construction d'un triangle connaisssant les trois côtés.

Ici la réalisation du problème est faite à l'aide du compas, cette compétence n'est plus exigible avec les nouveaux programmes, mais peut être travaillée comme problème de recherche. Avec le jeu des coûts il est possible de faire apparaître ce type de procédure.

Attention à bien choisir les coûts sur l'usage des instruments car sans équerre et sans compas, simplement avec le gabarit, la règle et le réglet ce problème peut être résolu à faible coût.

 

 La comparaison de ces différentes procédures met en évidence ce qui fait la complexité souvent peu apparente de l’enseignement de la géométrie et surtout de son apprentissage.

Trois observations s’imposent encore au Cycle 3.

  • Tout d’abord la résolution d’une tâche peut changer complètement selon les instruments que l’on utilise.
  • En second lieu, la procédure (1) mobilise la manière naturelle de voir des figures à condition cependant de considérer la décomposition d'un polygone en triangles rectangles comme visuellement naturelle , la procédure 2 requiert la manière mathématique de regarder un point comme intersection de deux lignes.
  • En troisième lieu la formulation et l’utilisation explicite de propriétés mathématiques exigent la manière mathématique de voir. 

  Chaque enseignant peut découvrir et explorer par lui-même cette complexité, rien qu’en proposant dans sa classe la tâche de restauration de cette figure incomplète. Il pourra observer à travers la diversité des productions obtenues les difficultés intrinsèques au passage des procédures qui en restent aux unités visuelles 2D à celles qui utilisent des unités visuelles 1D et surtout 0D. Il pourra également constater les difficultés d’une partie des élèves dans l’utilisation des instruments (par exemple un ajustement trop imprécis de la règle, le placement du gabarit, etc.). 

 Le principal intérêt de ce type de tâche est de permettre une progression d’acquisition dans les activités proposées, dont la variable didactique principale sera d’abord le choix de l’instrument, donc de la procédure à mettre en œuvre.

Pour organiser une telle progression deux conditions sont essentielles pour la motivation et l’implication des élèves

  • l’introduction d’un nouvel instrument ne doit pas se faire en supprimant ou en interdisant l’instrument privilégié dans l’activité précédente. Afin d’inciter les élèves à utiliser le nouvel instrument, on peut affecter à l'utilisation de chacun d'eux un coût exprimé en euros ou en une autre unité. ( Voir le jeu de l'animation suivante dans le menu pour une explicitation .).
  • la validation des productions faites, les élèves peuvent recourir aux instruments, aux pratiques qui leur sont plus familières et ont la possibilité de recommencer pour améliorer leur production.

Bien que l’on puisse théoriquement effectuer la progression sur la même figure, il faut varier les figures d’une activité à une autre. Le choix de la figure et de la figure à restaurer est à faire de manière à révéler l’importance de l’opération que l’introduction du nouvel instrument doit favoriser ainsi que l'importance des connaissances mathématiques à mobiliser.

Il est clair que si nous avons décliné toutes ces procédures sur la même figure, ce n'est que pour faciliter la lecture et la compréhension de la progression: de la restauration vers la reproduction . Il ne viendrait à l'idée de personnes de faire évoluer les élèves à l'aide d'une seule figure. Toutes les figures polygonales sont utilisables et on peut changer de figure à toutes les étapes.  

 Sur ce site on présente un éventail d’activités, c’est-à-dire de tâches et de figures, analysées en fonction de l’instrument privilégié pour leur résolution. Toutes ces activités ont déjà été présentées dans des classes, et pour certaines on trouvera également des comptes-rendus d’observation.